Exercice : Volumes de la boule et d'assemblages

Étape 1

On commence par calculer le volume $V_1$ de la demi-boule de rayon $R = 3\text{ cm}$. Le volume d'une boule étant donné par $\frac{4}{3}\pi R^3$, celui de la demi-boule est : $$V_1 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi\text{ cm}^3$$

Étape 2

On détermine ensuite le volume $V_2$ du cylindre en soustrayant le volume de la demi-boule au volume total : $$V_2 = 76{,}5\pi - 18\pi = 58{,}5\pi\text{ cm}^3$$

Étape 3

On sait que le volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ s'exprime par la formule $V_2 = \pi R^2 h$. Pour $R = 3\text{ cm}$, on a : $$V_2 = \pi \times 3^2 \times h = 9\pi \times h$$

Étape 4

On en déduit l'égalité : $$9\pi \times h = 58{,}5\pi$$ En divisant chaque membre par $9\pi$, on obtient : $$h = \frac{58{,}5\pi}{9\pi} = \frac{58{,}5}{9} = 6{,}5\text{ cm}$$