Exercice : Volumes de la boule et d'assemblages

Étape 1

Calculons tout d'abord le volume de la demi-boule. On utilise la formule du volume d'une demi-boule de rayon $r = 3\text{ cm}$ : $$V_{\text{demi-boule}} = \frac{2}{3} \times \pi \times r^3$$ $$V_{\text{demi-boule}} = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 27 = 18\pi\text{ cm}^3$$

Étape 2

Déduisons-en le volume du cylindre. Le volume total du flacon étant égal à $54\pi\text{ cm}^3$, on a : $$V_{\text{cylindre}} = V_{\text{total}} - V_{\text{demi-boule}}$$ $$V_{\text{cylindre}} = 54\pi - 18\pi = 36\pi\text{ cm}^3$$

Étape 3

Déterminons maintenant la hauteur $h$ du cylindre. On sait que le volume d'un cylindre est donné par la formule $V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h$. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient : $$36\pi = \pi \times 3^2 \times h$$ $$36\pi = 9\pi \times h$$

Étape 4

En divisant chaque membre par $9\pi$, on trouve : $$h = \frac{36\pi}{9\pi} = 4\text{ cm}$$