Étape 1
Étape 1 : Détermination du rayon $r$ de la base.
Étape 2
Le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est donné par la formule $P = 2 \pi r$. On sait que ce périmètre mesure $12\pi\text{ cm}$, ce qui donne :
Étape 3
$$2 \pi r = 12 \pi$$
Étape 4
En divisant par $2\pi$, on obtient $r = \frac{12\pi}{2\pi} = 6\text{ cm}$.
Étape 5
Étape 2 : Calcul du volume de la demi-boule et déduction du volume du cylindre.
Étape 6
Le volume d'une boule de rayon $r$ est donné par $V_{\text{boule}} = \frac{4}{3} \pi r^3$. Le volume de la demi-boule est donc la moitié de ce volume :
Étape 7
$$V_{\text{demi-boule}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$$
Étape 8
En remplaçant $r$ par $6\text{ cm}$ :
Étape 9
$$V_{\text{demi-boule}} = \frac{2}{3} \pi \times 6^3 = \frac{2}{3} \pi \times 216 = 144\pi\text{ cm}^3$$
Étape 10
Le volume total du réservoir étant de $288\pi\text{ cm}^3$, on détermine le volume du cylindre par soustraction :
Étape 11
$$V_{\text{cylindre}} = V_{\text{total}} - V_{\text{demi-boule}} = 288\pi - 144\pi = 144\pi\text{ cm}^3$$
Étape 12
Étape 3 : Calcul de la hauteur $h$ du cylindre.
Étape 13
Le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h$. On a donc :
Étape 14
$$\pi \times 6^2 \times h = 144\pi$$
Étape 15
$$36\pi h = 144\pi$$
Étape 16
En divisant les deux membres par $36\pi$, on trouve :
Étape 17
$$h = \frac{144\pi}{36\pi} = 4\text{ cm}$$
Méthode clé
Exprimer séparément les volumes des éléments de l'assemblage en fonction des données de base, puis isoler la grandeur inconnue.
Piège à éviter
Confondre le volume de la demi-boule avec celui d'une boule entière (oublier de diviser par 2).
