Résolution d'équations
L'essentiel du cours (3 notions)
Équations du premier degré
Propriété : Résoudre une équation d'inconnue $x$, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.
Méthode : 1. Développer et réduire. 2. Isoler les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre. 3. Diviser par le coefficient de $x$.
Exemple : $4x - 8 = 7x + 4$ donne $-3x = 12$, soit $x = \frac{12}{-3} = -4$.
Équations produit nul
Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.
Méthode : 1. Égaler chaque facteur à $0$. 2. Résoudre séparément les deux équations du premier degré obtenues.
Exemple : $(2,5x - 7)(8x - 9,6) = 0$ donne $2,5x - 7 = 0$ ou $8x - 9,6 = 0$, d'où $x = 2,8$ ou $x = 1,2$.
Équations de la forme $x^2 = a$
Propriété : Si $a > 0$, $x^2 = a$ possède deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. Si $a = 0$, la solution est $0$. Si $a < 0$, aucune solution.
Exemple : L'équation $x^2 = 20$ possède deux solutions : $x = \sqrt{20}$ et $x = -\sqrt{20}$.
On considère l'équation suivante :
$$5x - 7 = 2x + 8$$Saisir la valeur de la solution $x$.
On souhaite que l'expression $4x + 9$ soit égale à $-1$.
Pour quelle valeur du nombre $x$ obtient-on ce résultat ?
Saisir la valeur de $x$ sous forme décimale.
On considère l'équation suivante :
$$2(3 - 4x) = 5 - 3x$$Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ qui vérifie cette égalité.
Saisir la valeur de $x$.
On considère l'égalité suivante, où $x$ désigne l'inconnue et $k$ un nombre fixé :
$$5(2x - k) = 3(x + 4) - 2$$
Le nombre $3$ est une solution de cette équation.
Saisir la valeur du nombre $k$.
On considère l'équation suivante :
$$x^2 = 121$$Déterminer la plus grande solution de cette équation.
Saisir la plus grande solution.
On considère l'équation produit suivante :
$$ (2x - 5)(4x + 12) = 0 $$Pour résoudre cette équation :
- Résoudre chacune des deux équations du premier degré associées aux facteurs.
- Comparer les deux solutions trouvées.
Saisir la plus grande solution sous forme décimale.
On considère le programme de calcul suivant :
- Choisir un nombre ;
- Élever ce nombre au carré.
Le résultat final obtenu est égal à $6{,}25$.
Sachant que le nombre choisi au départ est strictement négatif, déterminer ce nombre.
Saisir la valeur du nombre choisi au départ.
On considère l'égalité suivante, où $k$ représente un nombre positif :
$$3k^2 - 17 = 130$$Résoudre l'équation et déterminer la valeur du nombre $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère l'équation suivante :
$$ (2{,}5x - 7)(8x - 9{,}6) = 0 $$Déterminer la plus grande solution de cette équation.
Saisir la valeur de la plus grande solution.
On considère l'équation produit $(4x + 12)(kx - 7) = 0$, où $k$ est un nombre relatif.
Les solutions de cette équation sont $-3$ et $2$.
En associant chaque solution au facteur correspondant, déterminer la valeur de $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère l'équation suivante, où $k$ désigne un nombre relatif :
$$(2x - 7)(4x + k) = 0$$On sait que la somme des deux solutions de cette équation est égale à $1$.
Saisir la valeur du nombre $k$.