Agrandissement, réduction et homothéties
L'essentiel du cours (2 notions)
Homothétie : longueurs, aires, volumes
Propriété : Dans une homothétie de rapport $k$ non nul : $L' = \lvert k \rvert \times L$, $A' = k^2 \times A$ et $V' = \lvert k \rvert^3 \times V$.
Exemple : Un solide de volume $10\text{ cm}^3$ agrandi avec un rapport $k=2$ a un volume final de $10 \times 2^3 = 80\text{ cm}^3$.
Calculs dans les triangles semblables
Propriété : Deux triangles semblables ont leurs angles égaux deux à deux et leurs côtés homologues proportionnels.
Méthode : 1. Associer les côtés opposés aux angles égaux. 2. Écrire l'égalité des rapports de longueurs. 3. Calculer la longueur inconnue par un produit en croix.
Exemple : Si $DEF$ est l'agrandissement de $ABC$ de rapport $1{,}5$, alors $DE = 1{,}5 \times AB$.
Un rectangle $ABCD$ a une aire de $16\text{ cm}^2$. On effectue une homothétie de rapport $k = 2{,}5$ pour obtenir un rectangle $A'B'C'D'$.
En calculant d'abord le coefficient d'agrandissement de l'aire $k^2$, déterminer l'aire du rectangle $A'B'C'D'$.
Saisir la valeur de l'aire du rectangle $A'B'C'D'$ (en cm²) :
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables. Les côtés $[AB]$ et $[DE]$ sont homologues, ainsi que les côtés $[BC]$ et $[EF]$.
On donne $AB = 4\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ et $DE = 10\text{ cm}$.
En déterminant d'abord le rapport d'agrandissement permettant de passer du triangle $ABC$ au triangle $DEF$, calculer la longueur $EF$.
Saisir la valeur de la longueur $EF$ (en cm).
On applique une homothétie de rapport $4$ à une figure $\mathcal{F}_1$ pour obtenir une figure agrandie $\mathcal{F}_2$.
L'aire de la figure agrandie $\mathcal{F}_2$ est égale à $72\text{ cm}^2$.
Déterminer l'aire de la figure initiale $\mathcal{F}_1$.
Saisir la valeur de l'aire de la figure initiale $\mathcal{F}_1$, en $\text{cm}^2$.
On considère deux triangles $ABC$ et $EDF$ semblables. Les sommets $A$, $B$ et $C$ correspondent respectivement aux sommets $E$, $D$ et $F$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$ et $EF = 12\text{ cm}$.
Déterminer la longueur du côté $[DF]$ en centimètres.
Saisir la valeur de la longueur $DF$.
Une pyramide $SABCD$ à base rectangulaire a pour dimensions $AB = 9\text{ cm}$ et $BC = 4\text{ cm}$. Sa hauteur mesure $10\text{ cm}$.
On réalise une reproduction agrandie de cette pyramide. Le volume de la pyramide agrandie est égal à $405\text{ cm}^3$.
Saisir le rapport d'agrandissement appliqué aux longueurs.
Une pyramide $P_2$ est obtenue par agrandissement d'une pyramide $P_1$.
- L'aire de la base de $P_1$ est égale à $20\text{ cm}^2$.
- L'aire de la base de $P_2$ est égale à $45\text{ cm}^2$.
- Le volume de $P_1$ est égal à $32\text{ cm}^3$.
Calculer le volume de la pyramide $P_2$, exprimé en $\text{cm}^3$.
Saisir uniquement la valeur numérique du volume.
On considère les deux triangles $ABC$ et $DEF$ représentés ci-dessous (les dimensions ne sont pas à l'échelle).
Dans le triangle $ABC$ :
- $ \widehat{BAC} = 48^\circ$ et $\widehat{ABC} = 72^\circ$ ;
- $AC = 6\text{ cm}$.
Dans le triangle $DEF$ :
- $\widehat{EDF} = 48^\circ$ et $\widehat{DFE} = 60^\circ$ ;
- $DE = 7{,}5\text{ cm}$ et $DF = 9\text{ cm}$.
Déterminer la longueur $AB$ en centimètres.
Saisir la longueur $AB$ (en cm).
Une pyramide $S_1$ à base carrée a une hauteur de $15\text{ cm}$.
Un solide $S_2$ est une reproduction à échelle réduite de la pyramide $S_1$. La base de $S_2$ a une aire de $36\text{ cm}^2$ et son volume est de $90\text{ cm}^3$.
Saisir la longueur du côté de la base de la pyramide $S_1$ (en cm).
On considère deux triangles semblables $ABC$ et $EDF$.
Les sommets $A$, $B$ et $C$ correspondent respectivement aux sommets $E$, $D$ et $F$.
On donne les mesures suivantes :
- $AC = 12\text{ cm}$
- $BC = 16\text{ cm}$
- $AB = x\text{ cm}$
- $EF = 9\text{ cm}$
- $DF + ED = 18\text{ cm}$
Saisir la valeur de $x$.