Exercice : Agrandissement, réduction et homothéties

Étape 1

Les sommets $A$, $B$ et $C$ correspondent respectivement aux sommets $E$, $D$ et $F$. Les côtés homologues sont donc $[AC]$ et $[EF]$, $[BC]$ et $[DF]$, ainsi que $[AB]$ et $[ED]$.

Étape 2

Les triangles $ABC$ et $EDF$ étant semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. On détermine le rapport de réduction $k$ à partir des côtés homologues $[AC]$ et $[EF]$ : $$k = \dfrac{EF}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$

Étape 3

On calcule la longueur du côté $DF$ correspondant au côté $BC$ : $$DF = k \times BC = 0{,}75 \times 16 = 12\text{ cm}$$

Étape 4

On utilise la somme $DF + ED = 18\text{ cm}$ donnée dans l'énoncé pour en déduire la longueur $ED$ : $$ED = 18 - DF = 18 - 12 = 6\text{ cm}$$

Étape 5

Enfin, le côté $[ED]$ correspond au côté $[AB]$ de longueur $x$. On a la relation $ED = k \times AB$, ce qui équivaut à : $$6 = 0{,}75 \times x$$ D'où : $$x = \dfrac{6}{0{,}75} = 8$$