Exercice : Agrandissement, réduction et homothéties

Étape 1

Dans un premier temps, déterminons la longueur du côté $[BC]$ dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore :

Étape 2

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Étape 3

$$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

Étape 4

D'où $BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.

Étape 5

Les triangles $ABC$ et $EDF$ étant semblables avec les sommets homologues $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow D$ et $C \leftrightarrow F$, leurs côtés homologues sont proportionnels :

Étape 6

$$\frac{ED}{AB} = \frac{EF}{AC} = \frac{DF}{BC}$$

Étape 7

En remplissant avec les valeurs connues, on obtient :

Étape 8

$$\frac{12}{8} = \frac{DF}{10}$$

Étape 9

On calcule alors $DF$ par un produit en croix :

Étape 10

$$DF = \frac{12 \times 10}{8} = \frac{120}{8} = 15\text{ cm}$$