Exercice : Agrandissement, réduction et homothéties

Étape 1

Dans le triangle $ABC$, la somme des mesures des angles est égale à $180^\circ$ : $$\widehat{BCA} = 180^\circ - (48^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Étape 2

Les triangles $ABC$ et $DEF$ ont deux angles deux à deux de même mesure : $$\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 48^\circ \quad \text{et} \quad \widehat{BCA} = \widehat{DFE} = 60^\circ$$ Ils sont donc semblables.

Étape 3

On repère les côtés homologues, opposés aux angles de même mesure :

Étape 4

- Opposés aux angles de $72^\circ$ : $[AC]$ et $[DF]$

Étape 5

- Opposés aux angles de $60^\circ$ : $[AB]$ et $[DE]$

Étape 6

Les longueurs des côtés homologues sont donc proportionnelles : $$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$$

Étape 7

En remplaçant par les valeurs données : $$\frac{AB}{7{,}5} = \frac{6}{9}$$

Étape 8

On en déduit : $$AB = \frac{6 \times 7{,}5}{9} = \frac{45}{9} = 5\text{ cm}$$