Exercice : Agrandissement, réduction et homothéties

Étape 1

Calculons d'abord le volume $V_1$ de la pyramide initiale $SABCD$. La base $ABCD$ est un rectangle d'aire : $$\text{Aire}_{ABCD} = 9\text{ cm} \times 4\text{ cm} = 36\text{ cm}^2$$

Étape 2

Le volume $V_1$ de cette pyramide est égal à : $$V_1 = \frac{\text{Aire}_{ABCD} \times \text{hauteur}}{3} = \frac{36 \times 10}{3} = 120\text{ cm}^3$$

Étape 3

Lors d'un agrandissement de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. On a donc la relation entre le volume agrandi $V_2$ et le volume initial $V_1$ : $$V_2 = k^3 \times V_1$$

Étape 4

En remplaçant par les valeurs numériques données dans l'énoncé, on obtient : $$405 = k^3 \times 120$$

Étape 5

On en déduit la valeur de $k^3$ : $$k^3 = \frac{405}{120} = 3{,}375$$

Étape 6

On cherche le nombre $k$ dont le cube vaut $3{,}375$. Comme $1{,}5 \times 1{,}5 \times 1{,}5 = 3{,}375$, le rapport d'agrandissement appliqué aux longueurs est égal à $1{,}5$.