Exercice : Agrandissement, réduction et homothéties

Étape 1

Dans un agrandissement de rapport $k$ ($k > 0$), les aires sont multipliées par $k^2$.

Étape 2

On détermine le carré du rapport d'agrandissement en comparant les aires des bases : $$k^2 = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$

Étape 3

Puisque $k$ est un nombre positif, on en déduit : $$k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Étape 4

Dans un agrandissement de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. On calcule ce coefficient : $$k^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} = 3{,}375$$

Étape 5

On calcule alors le volume de la pyramide $P_2$ à partir de celui de $P_1$ : $$V_2 = 32 \times \frac{27}{8} = 4 \times 27 = 108\text{ cm}^3$$