Étape 1
Calcul de la hauteur de la pyramide $S_2$ :
Étape 2
Le volume $V_2$ d'une pyramide est donné par la formule $$V_2 = \frac{1}{3} \times A_2 \times h_2$$ où $A_2$ est l'aire de sa base et $h_2$ sa hauteur.
Étape 3
En remplaçant par les valeurs données pour $S_2$ : $$90 = \frac{1}{3} \times 36 \times h_2$$ $$90 = 12 \times h_2$$ Ce qui donne $$h_2 = \frac{90}{12} = 7{,}5\text{ cm}$$
Étape 4
Détermination du rapport de réduction $k$ :
Étape 5
Le solide $S_2$ étant une réduction du solide $S_1$, le rapport de réduction $k$ est égal au rapport de leurs hauteurs correspondantes : $$k = \frac{h_2}{h_1} = \frac{7{,}5}{15} = 0{,}5$$
Étape 6
Calcul du côté de la base de $S_1$ :
Étape 7
La base de $S_2$ est un carré d'aire $A_2 = 36\text{ cm}^2$. La longueur du côté de cette base, notée $a_2$, est $$a_2 = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$$
Étape 8
Les longueurs de $S_2$ s'obtiennent en multipliant les longueurs de $S_1$ par le rapport $k$. On a donc $$a_2 = k \times a_1$$ Ce qui équivaut à $$a_1 = \frac{a_2}{k} = \frac{6}{0{,}5} = 12\text{ cm}$$
Méthode clé
Pour retrouver une dimension initiale après une transformation d'échelle, calculer le coefficient de réduction $k$ sur une hauteur ou longueur connue, puis appliquer $a_1 = \frac{a_2}{k}$.
Piège à éviter
Confondre le coefficient appliqué aux longueurs ($k$), aux aires ($k^2$) et aux volumes ($k^3$), ou oublier le facteur $\frac{1}{3}$ dans le volume de la pyramide.
