Exercice : Agrandissement, réduction et homothéties

Étape 1

Dans une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires sont multipliées par $k^2$.

Étape 2

Ici, le rapport de l'homothétie est $k = 4$. L'aire de la figure initiale est donc multipliée par : $$k^2 = 4^2 = 16$$

Étape 3

On traduit cette propriété par la relation suivante : $$\text{Aire}(\mathcal{F}_2) = 16 \times \text{Aire}(\mathcal{F}_1)$$

Étape 4

L'aire de la figure agrandie $\mathcal{F}_2$ étant égale à $72\text{ cm}^2$, on calcule l'aire initiale en divisant par $16$ : $$\text{Aire}(\mathcal{F}_1) = \frac{72}{16} = \frac{9}{2} = 4{,}5\text{ cm}^2$$

Étape 5

L'aire de la figure initiale $\mathcal{F}_1$ est donc égale à $4{,}5\text{ cm}^2$.