Vecteurs et coordonnées
L'essentiel du cours (3 notions)
Coordonnées d'un vecteur
Définition : Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées de $\vec{u}$ sont l'unique couple $(x ; y)$ tel que $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. On note $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
Méthode : - Lire : compter le déplacement horizontal $x$ (+ à droite, - à gauche) puis vertical $y$ (+ en haut, - en bas). - Placer : appliquer ce déplacement $(x ; y)$ à partir d'un point de départ.
Exemple : Si $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$, alors $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ (3 vers la droite, 2 vers le bas).
Opérations sur les coordonnées
Propriété : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}$ et $k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$ pour tout réel $k$.
Exemple : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$, alors $3\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\times 2 + 0 \\ 3\times(-1) + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Coordonnées du vecteur $\vec{AB}$
Propriété : Pour deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ (extrémité moins origine).
Exemple : Pour $A(1 ; 4)$ et $B(5 ; -2)$, $\vec{AB}\begin{pmatrix} 5 - 1 \\ -2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$.
Dans un repère du plan, on considère les points $A(4\,;\,-1)$ et $B(-2\,;\,5)$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Saisir l'ordonnée du vecteur $\vec{AB}$.
Dans un repère du plan, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$.
On souhaite déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 4\vec{u} + 3\vec{v}$.
En calculant d'abord les coordonnées des vecteurs $4\vec{u}$ et $3\vec{v}$, déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}$.
Saisir l'abscisse du vecteur $\vec{w}$.
Dans un repère du plan, on considère le point $A(2~;~3)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$.
On cherche à déterminer l'abscisse $k$ du point $B(k~;~1)$ tel que $\vec{AB} = \vec{u}$.
En exprimant les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ en fonction de $k$, déterminer la valeur de $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans un repère du plan, on donne les points $A(1 ; 5)$, $C(3 ; -2)$ et $D(-2 ; 4)$.
Le point $B$ a pour ordonnée $11$ et sa première coordonnée est notée $x_B$.
On sait que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux.
Saisir la valeur de $x_B$.
Dans un repère du plan, on considère les points $A(k ; -1)$, $B(2 ; 3)$ et $C(-3 ; 1)$, où $k$ est un nombre réel.
On définit le vecteur $\vec{u} = 3\vec{AB} - 2\vec{AC}$.
Sachant que l'abscisse du vecteur $\vec{u}$ est égale à $19$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(1; -2)$, $B(4; 3)$ et $C(-2; 5)$.
On définit le vecteur $\vec{u}$ par la relation $\vec{u} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$.
Saisir l'ordonnée du vecteur $\vec{u}$.