Exercice : Vecteurs et coordonnées

Étape 1

Commençons par exprimer l'abscisse des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en fonction du réel $k$.

Étape 2

D'après la formule des coordonnées d'un vecteur dans un repère :

Étape 3

$$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 2 - k$$

Étape 4

$$x_{\vec{AC}} = x_C - x_A = -3 - k$$

Étape 5

Exprimons maintenant l'abscisse du vecteur $\vec{u} = 3\vec{AB} - 2\vec{AC}$ en fonction de $k$ :

Étape 6

$$x_{\vec{u}} = 3 x_{\vec{AB}} - 2 x_{\vec{AC}}$$ $$x_{\vec{u}} = 3(2 - k) - 2(-3 - k)$$

Étape 7

En développant et en réduisant l'expression :

Étape 8

$$x_{\vec{u}} = 6 - 3k + 6 + 2k = 12 - k$$

Étape 9

L'énoncé indique que l'abscisse du vecteur $\vec{u}$ est égale à $19$. On obtient donc l'équation :

Étape 10

$$12 - k = 19$$

Étape 11

Ce qui équivaut à :

Étape 12

$$-k = 19 - 12$$ $$-k = 7$$ $$k = -7$$

Étape 13

La valeur du réel $k$ recherchée est donc $-7$.