Exercice vecteurs, coordonnees, somme — Vecteurs et coordonnées (2nde)

★ Standard

Dans un repère du plan, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$.

On souhaite déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 4\vec{u} + 3\vec{v}$.

En calculant d'abord les coordonnées des vecteurs $4\vec{u}$ et $3\vec{v}$, déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}$.

Saisir l'abscisse du vecteur $\vec{w}$.

Figure donnée à titre indicatif

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Réponse finale

Étape 1

D'une part, on calcule les coordonnées du vecteur $4\vec{u}$ en multipliant les coordonnées de $\vec{u}$ par $4$ :

Étape 2

$$4\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \times 2 \\ 4 \times (-3) \end{pmatrix} = 4\vec{u}\begin{pmatrix} 8 \\ -12 \end{pmatrix}$$

Étape 3

D'autre part, on calcule les coordonnées du vecteur $3\vec{v}$ en multipliant les coordonnées de $\vec{v}$ par $3$ :

Étape 4

$$3\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \times (-1) \\ 3 \times 5 \end{pmatrix} = 3\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 15 \end{pmatrix}$$

Étape 5

On effectue ensuite la somme des deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées terme à terme :

Étape 6

$$\vec{w} = 4\vec{u} + 3\vec{v} = \begin{pmatrix} 8 + (-3) \\ -12 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Étape 7

Le vecteur $\vec{w}$ a donc pour coordonnées $(5~;~3)$. Son abscisse est égale à $5$.

Méthode clé

Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$, alors $k\vec{u}(kx;ky)$ et $\vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y')$.

Piège à éviter

Attention à bien distribuer la multiplication sur l'ordonnée et à ne pas confondre l'abscisse et l'ordonnée lors de la saisie finale.

Exercice : Vecteurs et coordonnées