Étape 1
Dans un repère, les coordonnées du vecteur $\vec{CD}$ sont obtenues par la formule : $$\vec{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix}$$ En remplaçant par les coordonnées des points $C(3 ; -2)$ et $D(-2 ; 4)$, on obtient : $$\vec{CD}\begin{pmatrix} -2 - 3 \\ 4 - (-2) \end{pmatrix} = \vec{CD}\begin{pmatrix} -5 \\ 6 \end{pmatrix}$$
Étape 2
De la même manière, on exprime les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ en fonction de l'inconnue $x_B$ avec $A(1 ; 5)$ et $B(x_B ; 11)$ : $$\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - 1 \\ 11 - 5 \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - 1 \\ 6 \end{pmatrix}$$
Étape 3
Comme les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux, leurs coordonnées sont égales deux à deux. L'égalité des ordonnées est vérifiée car $6 = 6$. L'égalité des abscisses donne l'équation : $$x_B - 1 = -5$$ Ce qui équivaut à : $$x_B = -5 + 1 = -4$$
Méthode clé
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs abscisses sont égales et leurs ordonnées sont égales.
Piège à éviter
Inverser l'ordre des points dans la formule des coordonnées d'un vecteur en calculant $x_C - x_D$ au lieu de $x_D - x_C$.
