Exercice vecteurs, coordonnees, repere — Vecteurs et coordonnées (2nde)

★ Standard

Dans un repère du plan, on considère le point $A(2~;~3)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$.

On cherche à déterminer l'abscisse $k$ du point $B(k~;~1)$ tel que $\vec{AB} = \vec{u}$.

En exprimant les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ en fonction de $k$, déterminer la valeur de $k$.

Saisir la valeur de $k$.

Figure donnée à titre indicatif

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Réponse finale

Étape 1

Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ déterminé par deux points $A(x_A~;~y_A)$ et $B(x_B~;~y_B)$ sont données par la formule :

Étape 2

$$\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$

Étape 3

En remplaçant par les données de l'énoncé $A(2~;~3)$ et $B(k~;~1)$, on obtient :

Étape 4

$$\vec{AB}\begin{pmatrix} k - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix} k - 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Étape 5

L'égalité vectorielle $\vec{AB} = \vec{u}$ implique que leurs abscisses sont égales. On pose donc l'équation :

Étape 6

$$k - 2 = 5$$

Étape 7

Ce qui équivaut à :

Étape 8

$$k = 5 + 2 = 7$$

Étape 9

L'abscisse du point $B$ est donc $7$.

Méthode clé

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.

Piège à éviter

Inverser l'ordre dans le calcul des coordonnées du vecteur en effectuant $x_A - x_B$ au lieu de $x_B - x_A$.

Exercice : Vecteurs et coordonnées