Exercice : Vecteurs et coordonnées

Étape 1

Pour déterminer l'ordonnée du vecteur $\vec{u}$, exprimons d'abord les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

Étape 2

Pour le vecteur $\vec{AB}$ : $$\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$$ $$\vec{AB} = (4 - 1)\vec{i} + (3 - (-2))\vec{j} = 3\vec{i} + 5\vec{j}$$

Étape 3

Pour le vecteur $\vec{AC}$ : $$\vec{AC} = (x_C - x_A)\vec{i} + (y_C - y_A)\vec{j}$$ $$\vec{AC} = (-2 - 1)\vec{i} + (5 - (-2))\vec{j} = -3\vec{i} + 7\vec{j}$$

Étape 4

Exprimons maintenant le vecteur $\vec{u} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}$ en fonction de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ : $$\vec{u} = 2(3\vec{i} + 5\vec{j}) - 3(-3\vec{i} + 7\vec{j})$$ $$\vec{u} = 6\vec{i} + 10\vec{j} + 9\vec{i} - 21\vec{j}$$ $$\vec{u} = (6 + 9)\vec{i} + (10 - 21)\vec{j} = 15\vec{i} - 11\vec{j}$$

Étape 5

Le vecteur $\vec{u}$ a donc pour coordonnées $(15; -11)$. Son ordonnée est $-11$.