Pythagore, Thalès et Trigonométrie
L'essentiel du cours (3 notions)
Théorème de Pythagore
Propriété : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
Méthode : 1. Vérifier que le triangle est rectangle. 2. Écrire l'égalité de Pythagore. 3. Remplacer les longueurs connues et calculer l'inconnue.
Exemple : Triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ et $AC = 4$ : $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, d'où $BC = \sqrt{25} = 5$.
Théorème de Thalès
Propriété : Si deux droites $(BD)$ et $(CE)$ sont sécantes en $A$ et si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles, alors : $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$.
Méthode : 1. Vérifier la sécantité des droites et le parallélisme des deux autres. 2. Écrire l'égalité des trois rapports. 3. Calculer la longueur inconnue à l'aide d'un produit en croix.
Exemple : Si $\frac{AB}{AD} = \frac{2}{5}$ et $AE = 10\text{ cm}$, alors $AC = \frac{2 \times 10}{5} = 4\text{ cm}$.
Trigonométrie du triangle rectangle
Propriété : Dans un triangle rectangle : • $\cos(\theta) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$ • $\sin(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$ • $\tan(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$
Méthode : Repérer l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent à l'angle considéré, puis appliquer la formule adaptée (moyen mnémotechnique : CAH-SOH-TOA).
Exemple : Si $\text{hyp} = 10\text{ cm}$ et $\theta = 30^\circ$, alors $\text{opp} = 10 \times \sin(30^\circ) = 5\text{ cm}$.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 9\text{ cm}$ et $AC = 12\text{ cm}$.
Déterminer et saisir la longueur $BC$ (en cm).
Sur la figure ci-contre, les points $A$, $D$, $B$ d'une part, et $A$, $E$, $C$ d'autre part, sont alignés. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes :
- $AB = 10\text{ cm}$
- $AD = 4\text{ cm}$
- $BC = 15\text{ cm}$
En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $DE$.
Saisir la valeur de la longueur $DE$ (en cm).
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC = 15\text{ cm}$ et $\cos(\widehat{ABC}) = 0{,}8$.
Calculer la longueur du côté $[AB]$.
Saisir la longueur $AB$.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC = 15$ et $\cos(\widehat{ABC}) = 0{,}8$.
Déterminer la longueur $AC$.
Saisir la valeur de $AC$.
On considère la figure ci-dessous, composée de deux triangles rectangles $ABC$ et $ACD$.
On donne $AB = 4$, $BC = 7$ et $CD = 4$.
Saisir la longueur $AD$.
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ d'une part, et $A$, $C$, $E$ d'autre part, sont alignés. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $BD = 10$, $BC = 3$ et $DE = 8$.
Déterminer la longueur $AB$.
Saisir la valeur de $AB$.