Exercice : Pythagore, Thalès et Trigonométrie

Étape 1

Les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont sécantes en $A$, et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports : $$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$$

Étape 2

Puisque le point $B$ appartient au segment $[AD]$, la longueur $AD$ s'exprime par $AD = AB + BD = AB + 10$. En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé, l'égalité devient : $$\frac{AB}{AB + 10} = \frac{3}{8}$$

Étape 3

Par l'égalité des produits en croix, cette relation équivaut à : $$8 \times AB = 3 \times (AB + 10)$$

Étape 4

En développant le membre de droite, on obtient $8 \times AB = 3 \times AB + 30$, ce qui donne $5 \times AB = 30$, d'où $AB = \frac{30}{5} = 6$.