Étape 1
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, le cosinus de l'angle $\widehat{ABC}$ est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse :
Étape 2
$$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC}$$
Étape 3
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé :
Étape 4
$$0{,}8 = \frac{AB}{15}$$
Étape 5
On en déduit la longueur du côté adjacent :
Étape 6
$$AB = 15 \times 0{,}8 = 12$$
Étape 7
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore :
Étape 8
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Étape 9
Ce qui équivaut à :
Étape 10
$$AC^2 = BC^2 - AB^2$$
Étape 11
En remplaçant par les valeurs numériques :
Étape 12
$$AC^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$$
Étape 13
Une longueur étant un nombre positif, on obtient :
Étape 14
$$AC = \sqrt{81} = 9$$
Méthode clé
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu permet d'obtenir le côté adjacent, puis le théorème de Pythagore donne le troisième côté.
Piège à éviter
Confondre le côté adjacent et le côté opposé dans la formule du cosinus.
