Fonctions affines
L'essentiel du cours (2 notions)
Expression d'une fonction affine
Définition : Une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des réels fixés. Si $b = 0$, $f$ est dite linéaire.
Méthode : Pour identifier une fonction affine, on vérifie qu'elle s'écrit $ax + b$ : $a$ est le coefficient de $x$ et $b$ est le terme constant.
Exemple : $f(x) = 3x - 5$ est affine ($a=3, b=-5$) et $g(x) = 4 - x$ est affine ($a=-1, b=4$).
Variations et signe : fonction affine
Propriété : Pour $f(x) = mx + p$, le coefficient $m$ est le taux d'accroissement (ou coefficient directeur) et $p$ est l'ordonnée à l'origine. Si $m > 0$, $f$ est strictement croissante ; si $m < 0$, elle est strictement décroissante.
Méthode : 1. Le signe de $m$ détermine le sens de variation. 2. La valeur $x = -\frac{p}{m}$ (si $m \neq 0$) donne l'annulation et le changement de signe de $f(x)$.
Exemple : Pour $f(x) = 2x - 4$ : $m = 2 > 0$ donc $f$ est strictement croissante. $f(x) = 0 \iff x = 2$. $f(x) < 0$ sur $]-\infty ; 2[$ et $f(x) > 0$ sur $]2 ; +\infty[$.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = (k - 12)x^2 + 3x - 5$, où $k$ est un nombre réel.
Pour quelle valeur du réel $k$ la fonction $f$ est-elle une fonction affine ?
Saisir la valeur de $k$.
La droite $D$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax + b$.
À l'aide du graphique, déterminer la valeur du coefficient directeur $a$.
Saisir la valeur du coefficient directeur $a$.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x) = (2x + 5)^2 - 4x(x - 3) - 17$$Après développement et réduction, l'expression de $f(x)$ s'écrit sous la forme $k \cdot x + p$, où $k$ et $p$ sont des nombres réels.
Saisir la valeur du nombre $k$.
Dans le repère ci-dessous, la droite $\mathcal{D}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$. Les points $A(-3; 8)$ et $B(3; -4)$ appartiennent à cette droite.
Déterminer la valeur de l'image de $5$ par la fonction $f$.
Saisir la valeur de $f(5)$.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.
On donne $f(-1) = -2$ et $f(3) = 10$.
En utilisant le taux d'accroissement de la fonction $f$, déterminer la valeur du coefficient directeur $m$.
Saisir la valeur du coefficient directeur m.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$.
On sait que :
- $f(x)$ est strictement négative sur $]-\infty ; 4[$, s'annule en $x = 4$, et est strictement positive sur $]4 ; +\infty[$ ;
- l'accroissement des images entre $-1$ et $5$ vaut $30$, c'est-à-dire $f(5) - f(-1) = 30$.
Saisir la valeur de $f(-3)$.