Exercice fonctions, expression algébrique, développement — Fonctions affines (2nde)

Automatisme

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x) = (2x + 5)^2 - 4x(x - 3) - 17$$

Après développement et réduction, l'expression de $f(x)$ s'écrit sous la forme $k \cdot x + p$, où $k$ et $p$ sont des nombres réels.

Saisir la valeur du nombre $k$.

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Réponse finale

Étape 1

On commence par développer le premier terme à l'aide de l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

Étape 2

$$(2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$$

Étape 3

On développe ensuite le second terme par distributivité :

Étape 4

$$-4x(x - 3) = -4x^2 + 12x$$

Étape 5

On réinjecte ces développements dans l'expression de $f(x)$ :

Étape 6

$$f(x) = 4x^2 + 20x + 25 - 4x^2 + 12x - 17$$

Étape 7

On regroupe les termes de même nature :

Étape 8

$$f(x) = (4x^2 - 4x^2) + (20x + 12x) + (25 - 17) = 32x + 8$$

Étape 9

L'expression de $f(x)$ est sous la forme $k \cdot x + p$ avec $k = 32$ et $p = 8$. La valeur de $k$ est donc $32$.

Méthode clé

Pour identifier la forme d'une fonction, on développe chaque bloc puis on regroupe les termes selon les puissances de $x$.

Piège à éviter

Attention aux erreurs de signe lors de la distribution d'un facteur négatif comme $-4x(x - 3) = -4x^2 + 12x$.

Exercice : Fonctions affines