Étape 1
Une fonction affine $f$ s'écrit sous la forme $f(x) = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (ou taux d'accroissement) et $p$ est l'ordonnée à l'origine.
Étape 2
Pour tout couple de réels distincts $x_1$ et $x_2$, le taux d'accroissement est constant et vaut : $$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$ En appliquant cette formule avec $x_1 = -1$ et $x_2 = 5$ : $$m = \frac{f(5) - f(-1)}{5 - (-1)} = \frac{30}{6} = 5$$ Le coefficient directeur est donc $m = 5$.
Étape 3
D'après les informations sur le signe de $f(x)$, la fonction s'annule en $x = 4$, ce qui signifie que $f(4) = 0$. On utilise cette valeur pour déterminer $p$ : $$f(4) = 5 \times 4 + p = 0$$ $$20 + p = 0 \quad \text{soit} \quad p = -20$$ L'expression algébrique de la fonction $f$ est donc $f(x) = 5x - 20$.
Étape 4
On calcule l'image de $-3$ par la fonction $f$ : $$f(-3) = 5 \times (-3) - 20 = -15 - 20 = -35$$
Méthode clé
Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$, le coefficient directeur $m$ est égal au taux d'accroissement constant $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. L'annulation de la fonction permet ensuite de déterminer $p$.
Piège à éviter
Confondre l'accroissement des images $f(x_2) - f(x_1)$ avec le coefficient directeur $m$, en oubliant de diviser par la différence des abscisses $x_2 - x_1$.
