Équations de droites
L'essentiel du cours (3 notions)
Déterminer l'équation d'une droite
Propriété : Toute droite du plan a une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ avec $(a;b) \neq (0;0)$. Si la droite n'est pas verticale ($b \neq 0$), elle a une équation réduite unique $y = mx + p$. Si elle est verticale ($b = 0$), son équation est $x = c$.
Méthode : • Via 2 points $A, B$ ($x_A \neq x_B$) : calculer $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis déterminer $p = y_A - m x_A$. • Via un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(u_1; u_2)$ : utiliser la condition de colinéarité du vecteur $\vec{AM}(x-x_A; y-y_A)$ et de $\vec{u}$.
Exemple : Pour $A(1;2)$ et $B(3;6)$ : $m = \frac{6-2}{3-1} = 2$. Avec $A(1;2)$ : $2 = 2 \times 1 + p \implies p = 0$. Donc $y = 2x$.
Pente et vecteur directeur
Propriété : Pour une droite $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$. La pente $m = -\frac{a}{b}$ n'existe que si la droite n'est pas verticale ($b \neq 0$). Pour $y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u}(1; m)$.
Méthode : Graphiquement : la pente est le rapport $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Un vecteur directeur s'obtient en joignant deux points distincts de la droite ou directement via ses coefficients algébriques.
Exemple : Pour $d : 2x - 3y + 1 = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(3;2)$ et sa pente est $m = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$.
Tracer une droite dans un repère
Méthode : • Par 2 points : choisir deux valeurs de $x$ (ou $y$), calculer les ordonnées correspondantes, placer les points et les relier. • Par vecteur : placer un point connu $A(x_A; y_A)$, puis appliquer le déplacement du vecteur directeur $\vec{u}(u_1; u_2)$.
Exemple : Pour $y = 2x - 1$ : si $x=0$, $y=-1 \implies A(0;-1)$. Si $x=2$, $y=3 \implies B(2;3)$. Placer $A$ et $B$ puis tracer la droite.
On considère la droite $(d)$ d'équation $3x - 4y + 8 = 0$.
Déterminer le coefficient directeur de la droite $(d)$.
Saisir le coefficient directeur sous forme décimale.
On considère la droite $(d)$ d'équation cartésienne $3x - 4y + 8 = 0$.
Pour tracer la droite $(d)$ dans un repère, on cherche les coordonnées de points appartenant à cette droite. Le point $A$ appartient à la droite $(d)$ et a pour abscisse $x_A = 4$.
Déterminer l'ordonnée $y_A$ du point $A$.
Saisir la valeur de l'ordonnée $y_A$.
Dans un repère du plan, on considère les deux points $A(1\,;\,7)$ et $B(3\,;\,11)$.
La droite $(AB)$ admet une équation réduite de la forme $y = m x + p$.
- Calculer le coefficient directeur $m$ de la droite $(AB)$.
- En déduire la valeur de l'ordonnée à l'origine $p$.
Saisir la valeur de l'ordonnée à l'origine $p$.
Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère la droite $d$ d'équation $4x - 3y + 24 = 0$.
Pour tracer cette droite, on détermine ses deux points d'intersection avec les axes du repère : le point $A$ situé sur l'axe des abscisses et le point $B$ situé sur l'axe des ordonnées.
Déterminer la distance entre les points $A$ et $B$.
Saisir la valeur de la distance $AB$.
Dans un repère du plan, la droite $D$ passe par les points $A(-3 ; 7)$ et $C(5 ; -9)$.
Le point $B(k ; -4)$ appartient également à cette droite $D$, où $k$ est un nombre réel.
Saisir la valeur du nombre réel $k$.
On considère la droite $(d)$ d'équation $3(x - 2) - 4(y + 1) = 0$.
Déterminer le coefficient directeur de la droite $(d)$.
Saisir le coefficient directeur de la droite $(d)$.