Théorème de Thalès et parallélisme
L'essentiel du cours (2 notions)
Réciproque du théorème de Thalès
Propriété : Si les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre, et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors $(MN) // (BC)$.
Méthode : 1. Calculer séparément $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$. 2. Comparer les deux quotients. 3. Si égalité et alignement dans le même ordre, conclure au parallélisme des droites.
Exemple : Si $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{6} = 0{,}5$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{8} = 0{,}5$, alors $(MN) // (BC)$.
Théorème de Thalès et longueurs
Propriété : Si $(MN) // (BC)$ dans la configuration des triangles emboîtés $AMN$ et $ABC$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.
Méthode : 1. Repérer le parallélisme et l'alignement des points. 2. Écrire l'égalité des trois rapports. 3. Remplacer par les valeurs connues puis calculer la longueur manquante par produit en croix.
Exemple : Si $(MN) // (BC)$, $\frac{AM}{6} = \frac{2}{5}$ donc $AM = \frac{6 \times 2}{5} = 2{,}4\text{ cm}$.
Dans le triangle $ABC$, le point $D$ appartient au segment $[AB]$ et le point $E$ appartient au segment $[AC]$.
Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes :
- $AD = 4\text{ cm}$
- $AB = 10\text{ cm}$
- $DE = 3\text{ cm}$
En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $BC$.
Saisir la valeur de la longueur $BC$ en cm (nombre décimal avec une virgule si besoin) :
Sur la figure ci-contre, les points $A$, $D$, $B$ d'une part, et $A$, $E$, $C$ d'autre part, sont alignés.
Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On souhaite que la longueur finale du segment $[BC]$ soit égale à $5\text{ cm}$.
On donne par ailleurs : $AB = 7\text{ cm}$ et $DE = 2\text{ cm}$.
À l'aide du théorème de Thalès, déterminer la longueur du segment $[AD]$ permettant d'obtenir cette dimension.
Saisir la longueur $AD$ (en cm).
Sur la figure ci-contre, les points $A, D, B$ sont alignés dans cet ordre, tout comme les points $A, E, C$. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne $AD = 6\text{ cm}$, $DE = 7\text{ cm}$ et $BC = 17{,}5\text{ cm}$.
Calculer la longueur du segment $[DB]$.
Saisir la valeur numérique de la longueur $DB$ en cm.
Sur la figure ci-contre :
- Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ;
- Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$ ;
- $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$ et $AM = 2{,}7\text{ cm}$.
Pour quelle longueur $AN$, en centimètres, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Saisir la longueur $AN$ en centimètres.
Sur la figure ci-dessous :
- Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ;
- Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$ ;
- Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ;
- $AB = 8\text{ cm}$, $AC = 6\text{ cm}$ et $AM = 6\text{ cm}$.
Calculer la longueur $MN$.
Saisir la longueur $MN$, en centimètres.
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On donne $AC = 12\text{ cm}$ et $BC = 13\text{ cm}$.
Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ tel que $BM = 2\text{ cm}$. Le point $N$ appartient au segment $[AC]$.
On cherche la position exacte du point $N$ permettant de garantir que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Saisir la valeur de la longueur $AN$ (en cm).
Sur la figure ci-contre, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le point $D$ appartient au segment $[AB]$ et le point $E$ appartient au segment $[AC]$.
On donne les longueurs suivantes :
- $AB = 9\text{ cm}$
- $BC = 15\text{ cm}$
- $BD = 3\text{ cm}$
On cherche la longueur $EC$ pour que les droites $(DE)$ et $(BC)$ soient parallèles.
Saisir la valeur de la longueur $EC$ (en cm) :
Sur la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
Le point $D$ appartient au segment $[AB]$ et le point $E$ appartient au segment $[BC]$. Les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes : $AB = 15\text{ cm}$, $AC = 20\text{ cm}$ et $AD = 6\text{ cm}$.
Saisir la longueur $EC$ en cm.
Soit $ABC$ un triangle. Le point $D$ appartient au segment $[AB]$ et le point $E$ appartient au segment $[AC]$. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes :
- $AD = 3\text{ cm}$
- $AB = 9\text{ cm}$
- $AE = 4\text{ cm}$
Le périmètre du quadrilatère $BDEC$ est égal à $38\text{ cm}$.
Saisir la valeur de $DE$.
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $D$, $B$ sont alignés dans cet ordre, et les points $A$, $E$, $C$ sont également alignés dans cet ordre.
On donne les longueurs suivantes :
- $AD = 3{,}6\text{ cm}$
- $DB = 5{,}4\text{ cm}$
- $AC = 13{,}5\text{ cm}$
Le point $E$ appartient au segment $[AC]$. On note $x$ la longueur du segment $[EC]$ en cm.
Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Saisir la valeur de $x$.