Exercice : Théorème de Thalès et parallélisme

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$ Une longueur étant toujours positive, on en déduit : $$BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$

Étape 2

Dans le triangle $ABC$ : le point $M$ appartient au segment $[AB]$, le point $N$ appartient au segment $[AC]$, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés des triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles : $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

Étape 3

En utilisant les longueurs connues, on obtient : $$\frac{6}{8} = \frac{MN}{10}$$ Par le produit en croix : $$MN = \frac{6 \times 10}{8} = \frac{60}{8} = 7{,}5\text{ cm}$$