Étape 1
Étape 1 : Calcul de la longueur $AC$ dans le triangle $ABC$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, son hypoténuse est le côté $[BC]$. D'après le théorème de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ En remplaçant par les mesures données : $$10^2 = 6^2 + AC^2$$ $$100 = 36 + AC^2$$ On en déduit : $$AC^2 = 100 - 36 = 64$$ Comme une longueur est un nombre positif : $$AC = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$$
Étape 2
Étape 2 : Condition de parallélisme des droites $(MN)$ et $(BC)$. Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre sur les côtés du triangle. D'après la propriété de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles si et seulement si les rapports correspondants sont égaux : $$\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}$$
Étape 3
Calcul du rapport connu : $$\frac{AM}{AB} = \frac{2{,}7}{6} = 0{,}45$$
Étape 4
Étape 3 : Calcul de la longueur $AN$. Pour que les droites soient parallèles, on doit donc avoir : $$\frac{AN}{8} = 0{,}45$$ D'où : $$AN = 8 \times 0{,}45 = 3{,}6\text{ cm}$$ Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont donc parallèles lorsque la longueur $AN$ est égale à $3{,}6\text{ cm}$.
Méthode clé
Calculer la longueur manquante du grand triangle à l'aide du théorème de Pythagore, puis poser l'égalité des rapports $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ pour obtenir la longueur assurant le parallélisme.
Piège à éviter
Chercher à calculer $AN$ directement sans déterminer au préalable la longueur totale $AC$, ou commettre une erreur dans le choix de l'hypoténuse lors du calcul de Pythagore.
