Exercice : Théorème de Thalès et parallélisme

Étape 1

Les points $A$, $D$, $B$ d'une part et $A$, $E$, $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.

Étape 2

Calculons tout d'abord la longueur totale du segment $[AB]$ : $$AB = AD + DB = 3{,}6 + 5{,}4 = 9\text{ cm}$$

Étape 3

Calculons ensuite le rapport de longueurs sur la droite $(AB)$ : $$\frac{AD}{AB} = \frac{3{,}6}{9} = 0{,}4$$

Étape 4

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles si et seulement si les rapports $\frac{AD}{AB}$ et $\frac{AE}{AC}$ sont égaux.

Étape 5

On cherche donc la longueur $AE$ telle que : $$\frac{AE}{AC} = 0{,}4$$ Soit : $$AE = 0{,}4 \times AC = 0{,}4 \times 13{,}5 = 5{,}4\text{ cm}$$

Étape 6

Le point $E$ appartenant au segment $[AC]$, on déduit la longueur $x = EC$ : $$x = EC = AC - AE = 13{,}5 - 5{,}4 = 8{,}1\text{ cm}$$

Étape 7

La valeur de $x$ pour laquelle les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles est donc $8{,}1$.