Étape 1
Étape 1 : Calcul de la longueur du côté $AB$.
Étape 2
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore, on a $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$13^2 = AB^2 + 12^2$$ $$169 = AB^2 + 144$$ $$AB^2 = 169 - 144 = 25$$ D'où $AB = 5\text{ cm}$.
Étape 3
Étape 2 : Calcul de la longueur $AM$ et du rapport $\frac{AM}{AB}$.
Étape 4
Le point $M$ appartient au segment $[AB]$, donc $$AM = AB - BM = 5 - 2 = 3\text{ cm}$$ On en déduit la valeur du rapport $$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$
Étape 5
Étape 3 : Détermination de la longueur $AN$ pour assurer le parallélisme.
Étape 6
Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre. D'après le théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles si et seulement si les rapports de longueurs sont égaux : $$\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}$$ En remplaçant par les valeurs connues : $$\frac{AN}{12} = \frac{3}{5}$$ D'où $$AN = \frac{3 \times 12}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2\text{ cm}$$
Étape 7
La valeur de la longueur $AN$ pour laquelle les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles est donc $7{,}2\text{ cm}$.
Méthode clé
Calculer la longueur manquante du grand triangle rectangle à l'aide du théorème de Pythagore, puis appliquer la condition d'égalité des rapports du théorème de Thalès.
Piège à éviter
Confondre la longueur du segment $[BM]$ ($2\text{ cm}$) avec la longueur $AM$ ($AB - BM$).
