Exercice : Théorème de Thalès et parallélisme

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur $AC$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore, on a :

Étape 2

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Étape 3

En remplaçant par les valeurs données :

Étape 4

$$15^2 = 9^2 + AC^2$$

Étape 5

$$225 = 81 + AC^2$$

Étape 6

$$AC^2 = 225 - 81 = 144$$

Étape 7

D'où $AC = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$.

Étape 8

Étape 2 : Calcul de la longueur $AD$. Le point $D$ appartient au segment $[AB]$, donc :

Étape 9

$$AD = AB - BD = 9 - 3 = 6\text{ cm}$$

Étape 10

Étape 3 : Détermination de la longueur $AE$. Les points $A, D, B$ d'une part, et $A, E, C$ d'autre part, sont alignés dans cet ordre. Pour que les droites $(DE)$ et $(BC)$ soient parallèles, les rapports de longueurs issus du sommet $A$ doivent être égaux :

Étape 11

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$

Étape 12

En remplaçant par les valeurs connues :

Étape 13

$$\frac{6}{9} = \frac{AE}{12}$$

Étape 14

On en déduit :

Étape 15

$$AE = \frac{6 \times 12}{9} = \frac{72}{9} = 8\text{ cm}$$

Étape 16

Étape 4 : Calcul de la longueur $EC$. Le point $E$ appartient au segment $[AC]$, donc :

Étape 17

$$EC = AC - AE = 12 - 8 = 4\text{ cm}$$