Exercice : Théorème de Thalès et parallélisme

Étape 1

Dans le triangle $ABC$, les points $A, D, B$ sont alignés d'une part, et $A, E, C$ sont alignés d'autre part. Les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports : $$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

Étape 2

En remplaçant par les longueurs connues, on obtient : $$\frac{3}{9} = \frac{4}{AC} = \frac{DE}{BC}$$ Le rapport vaut $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. D'où : $$AC = 3 \times 4 = 12\text{ cm}$$

Étape 3

On en déduit les longueurs des segments $EC$ et $BD$ : $$EC = AC - AE = 12 - 4 = 8\text{ cm}$$ $$BD = AB - AD = 9 - 3 = 6\text{ cm}$$

Étape 4

D'après l'égalité des rapports, la longueur $BC$ est liée à $DE$ par : $$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{3} \quad \text{soit} \quad BC = 3 \times DE$$

Étape 5

Le périmètre du quadrilatère $BDEC$ est la somme de ses quatre côtés : $$\mathcal{P} = BD + DE + EC + BC$$ En remplaçant par les valeurs et expressions obtenues : $$6 + DE + 8 + 3 \times DE = 38$$ $$14 + 4 \times DE = 38$$ $$4 \times DE = 38 - 14$$ $$4 \times DE = 24$$ $$DE = \frac{24}{4} = 6\text{ cm}$$