Exercice : Théorème de Thalès et parallélisme

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur $BC$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore, on a : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ $$BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$ D'où $BC = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$.

Étape 2

Étape 2 : Calcul de la longueur $BE$. Le point $D$ appartient au segment $[AB]$, donc : $$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9\text{ cm}$$ Dans le triangle $ABC$, le point $D$ est sur $[AB]$, le point $E$ est sur $[BC]$ et les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports : $$\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC}$$ En remplaçant par les longueurs connues : $$\frac{9}{15} = \frac{BE}{25}$$ D'où : $$BE = \frac{9 \times 25}{15} = 15\text{ cm}$$

Étape 3

Étape 3 : Calcul de la longueur $EC$. Le point $E$ appartient au segment $[BC]$, donc : $$EC = BC - BE = 25 - 15 = 10\text{ cm}$$ La longueur $EC$ est donc égale à $10\text{ cm}$.