Décomposition et nombres premiers
L'essentiel du cours (1 notion)
Décomposer en facteurs premiers
Définition : Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Méthode : Tester la divisibilité par les nombres premiers successifs ($2$, $3$, $5$, ...) et diviser jusqu'à obtenir un quotient égal à $1$.
Exemple : $124 = 2 \times 62 = 2 \times 2 \times 31 = 2^2 \times 31$
On considère le nombre entier $126$.
En effectuant des divisions successives par les nombres premiers pris dans l'ordre croissant ($2, 3, 5, 7, \dots$), décomposer $126$ en produit de facteurs premiers.
Saisir le plus grand facteur premier présent dans cette décomposition.
En décomposant le nombre $306$ en produit de facteurs premiers, déterminer la valeur du nombre premier $p$ tel que :
$$306 = 2 \times 3^2 \times p$$Saisir la valeur du nombre premier $p$.
On donne l'égalité suivante, où $k$ est un nombre entier positif :
$$2^2 \times 3 \times k \times 37 = 2\,220$$En décomposant en facteurs premiers, déterminer et saisir la valeur du nombre entier $k$.
Un script Scratch est utilisé pour décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers en le divisant successivement par les plus petits nombres premiers possibles.
En exécutant ce programme avec le nombre $420$, le lutin ajoute chaque facteur premier trouvé dans la liste « Facteurs ».
Saisir le plus grand facteur premier obtenu dans la décomposition de 420.
Deux phares maritimes s'allument simultanément à un instant donné.
- Le premier phare émet un flash lumineux toutes les $18\text{ secondes}$.
- Le second phare émet un flash lumineux toutes les $24\text{ secondes}$.
En énumérant les multiples de $18$ et de $24$, déterminer au bout de combien de secondes les deux phares émettront à nouveau un flash en même temps pour la première fois.
Saisir le nombre de secondes écoulées.
On considère le script ci-dessous, réalisé avec le logiciel Scratch, qui permet de décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers.
Lors d'une exécution de ce programme, la liste « facteurs » contient à la fin les nombres suivants, dans cet ordre :
- $2$
- $2$
- $3$
- $5$
- $7$
Quel nombre entier a été saisi par l'utilisateur au début du programme ?
Saisir le nombre entier saisi au départ.
On considère le programme réalisé ci-contre avec le logiciel Scratch.
Un élève exécute ce script et saisit le nombre $540$ lorsque la demande lui est faite.
Saisir la somme de tous les nombres contenus dans la liste « facteurs » à la fin de l'exécution.
Deux lignes de bus A et B effectuent des trajets en boucle au départ d'un même terminus. Elles effectuent leur premier départ simultanément à 06h00 du matin.
- La ligne A repasse au terminus toutes les 28 minutes.
- La ligne B repasse au terminus toutes les $x$ minutes, où $x$ est une durée entière comprise entre 50 et 80 minutes.
On observe que les deux bus repassent ensemble au terminus pour la toute première fois à 13h00.
Saisir la valeur de la durée $x$ en minutes.
Un mécanisme d'engrenage est constitué de deux roues dentées en contact. La petite roue possède $28$ dents et la grande roue possède $48$ dents.
Au départ, deux repères tracés en face l'un de l'autre sur chacune des roues sont en contact.
Déterminer le nombre de tours complets effectués par la petite roue pour que les deux repères se retrouvent en contact pour la première fois.
Saisir le nombre de tours complets effectués par la petite roue.
Trois lignes de bus A, B et C partent simultanément de la même station terminus à 8 h 00.
- Un bus de la ligne A repasse par ce terminus toutes les $18$ minutes.
- Un bus de la ligne B repasse par ce terminus toutes les $20$ minutes.
- Un bus de la ligne C repasse par ce terminus toutes les $N$ minutes, où $N$ est un nombre entier de minutes compris entre $35$ et $50$.
Les trois bus se croisent à nouveau tous les trois ensemble au terminus pour la toute première fois à 14 h 00.
Saisir la valeur de $N$.