Exercice : Décomposition et nombres premiers

Étape 1

Pour que les deux repères se retrouvent en contact, le nombre de dents ayant engrené doit être un multiple à la fois de $28$ et de $48$. Pour que cette situation se produise pour la première fois, il faut trouver le plus petit multiple commun strictement positif de ces deux nombres.

Étape 2

On décompose $28$ et $48$ en produits de facteurs premiers :$$28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$$$$48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3$$

Étape 3

Le plus petit multiple commun doit contenir tous les facteurs premiers intervenant dans ces décompositions, chacun affecté de son plus grand exposant :$$2^4 \times 3 \times 7 = 16 \times 21 = 336$$Les deux repères se retrouvent donc en contact après le passage de $336$ dents.

Étape 4

On calcule le nombre de tours effectués par la petite roue de $28$ dents :$$336 \div 28 = 12$$La petite roue effectue donc 12 tours complets.