Exercice : Décomposition et nombres premiers

Étape 1

Calculons la durée écoulée entre le départ simultané à 8 h 00 et la première re-synchronisation à 14 h 00. Il s'écoule 6 heures, soit $$6 \times 60 = 360\text{ minutes}$$ La durée de 360 minutes est donc le plus petit multiple commun aux trois fréquences de passage : 18 minutes, 20 minutes et $N$ minutes.

Étape 2

Décomposons 18, 20 et 360 en produits de facteurs premiers : $$18 = 2 \times 3^2$$ $$20 = 2^2 \times 5$$ $$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$$

Étape 3

Analysons la provenance des facteurs premiers du nombre 360. Le facteur 2 apparaît à la puissance 3 ($2^3 = 8$) dans la décomposition de 360. Or, dans la décomposition de 18, le facteur 2 est à la puissance 1 ($2^1$), et dans celle de 20, il est à la puissance 2 ($2^2$).

Étape 4

Par conséquent, le facteur $2^3$ doit nécessairement provenir de la décomposition du nombre $N$. Le nombre $N$ est donc un multiple de 8, et il est aussi un diviseur de 360.

Étape 5

Listons les multiples de 8 qui sont des diviseurs de 360 : 8, 24, 40, 72, 120 et 360. Sachant d'après l'énoncé que $N$ est un nombre entier compris entre 35 et 50, la seule valeur possible est $$N = 40$$