Étape 1
Étape 1 : Calculer la durée totale écoulée jusqu'au premier croisement simultané. Entre 06h00 et 13h00, il s'écoule 7 heures, soit : $$7 \times 60 \text{ min} = 420 \text{ min}$$ La durée de 420 minutes représente donc le plus petit multiple commun des durées 28 minutes et $x$ minutes.
Étape 2
Étape 2 : Décomposer les nombres connus en produits de facteurs premiers. $$\begin{aligned} 28 &= 2^2 \times 7 \\ 420 &= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \end{aligned}$$
Étape 3
Étape 3 : Déterminer les valeurs possibles pour $x$. Puisque 420 est le plus petit multiple commun de 28 et $x$, tous les facteurs premiers de 420 doivent figurer dans la décomposition de 28 ou dans celle de $x$. Les facteurs 3 et 5 apparaissent dans la décomposition de 420 mais pas dans celle de 28. Ils doivent donc obligatoirement faire partie de la décomposition de $x$. Par conséquent, $x$ est un multiple de $3 \times 5 = 15$. De plus, $x$ doit être un diviseur de 420. Il s'écrit donc sous la forme $x = 15 \times k$, où $k$ est un diviseur de 28. Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Les valeurs possibles pour $x$ sont donc : $15 \times 1 = 15$, $15 \times 2 = 30$, $15 \times 4 = 60$, $15 \times 7 = 105$, $15 \times 14 = 210$ et $15 \times 28 = 420$.
Étape 4
Étape 4 : Conclure. L'énoncé indique que la durée $x$ est comprise entre 50 et 80 minutes. La seule valeur convenant à cette condition est 60.
Méthode clé
Exprimer le temps de première rencontre comme le plus petit multiple commun des deux périodes, puis utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le paramètre inconnu.
Piège à éviter
Oublier de convertir la durée totale en minutes ou chercher $x$ par simple soustraction au lieu de raisonner sur les multiples.
