Limites et convergence des suites
L'essentiel du cours (5 notions)
Convergence et divergence d'une suite
Définition : Une suite $(u_n)$ converge si elle admet une limite réelle $L \in \mathbb{R}$. Elle diverge si sa limite est infinie ($+\infty$ ou $-\infty$) ou n'existe pas.
Exemple : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ (suite convergente) ; $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ (suite divergente).
Limite d'une suite géométrique
Propriété : Si $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$. Si $q = 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$. Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. Si $q \le -1$, $q^n$ n'a pas de limite.
Méthode : Pour $q > 1$, on pose $q = 1 + a$ ($a > 0$). Par l'inégalité de Bernoulli, $q^n = (1+a)^n \ge 1 + na$. Comme $\lim_{n \to +\infty} (1+na) = +\infty$, par comparaison $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Exemple : Comme $-1 < 0{,}5 < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} (0{,}5)^n = 0$.
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Propriété : Pour $n \ge n_0$ : • **Gendarmes :** $v_n \le u_n \le w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = L \in \mathbb{R} \implies \lim u_n = L$. • **Comparaison :** $u_n \ge v_n$ et $\lim v_n = +\infty \implies \lim u_n = +\infty$.
Méthode : 1. Encadrer ou minorer $u_n$ pour $n \ge n_0$. 2. Calculer les limites des suites encadrantes. 3. Conclure.
Exemple : $-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n} \implies \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$ car $\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.
Théorème de convergence monotone
Propriété : Toute suite croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) converge vers une limite réelle $L$. Une suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
Méthode : 1. Démontrer la monotonie de $(u_n)$. 2. Démontrer qu'elle est majorée (ou minorée). 3. Conclure à l'existence d'une limite réelle $L$ (sans calculer sa valeur à cette étape).
Limite d'une suite récurrente
Propriété : Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $L \in \mathbb{R}$ et si $f$ est continue en $L$, alors $f(L) = L$.
Méthode : 1. Prouver la convergence de $(u_n)$ vers une limite réelle $L$. 2. Justifier la continuité de $f$ en $L$. 3. Résoudre l'équation $f(L) = L$ pour déterminer la valeur exacte de $L$.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_n = 12 - 5 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$$En utilisant la limite de la suite géométrique $\left(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\right)$, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Saisir la limite de la suite $(u_n)$.
On considère la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par :
$$u_n = \frac{3n - \sin(n)}{n}$$En utilisant le théorème des gendarmes, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
$$u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 6}{5}$$On admet que la suite $(u_n)$ est croissante et qu'elle est majorée par $2$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Soit $a$ un nombre réel.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \ge 1$ par :
$$u_n = \frac{a n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 5}$$
On sait que la suite $(u_n)$ converge vers $4$.
Déterminer la valeur du réel $a$.
Un élève propose la démonstration suivante pour étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 2 - \frac{1}{n}$.
Étape 1 : Pour tout entier $n \ge 1$, $u_{n+1} - u_n = \left(2 - \frac{1}{n+1}\right) - \left(2 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$. Comme $n \ge 1$, $\frac{1}{n(n+1)} > 0$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Étape 2 : Pour tout entier $n \ge 1$, $n \ge 1 \implies -\frac{1}{n} < 0 \implies 2 - \frac{1}{n} < 2 < 5$. La suite $(u_n)$ est donc majorée par $5$.
Étape 3 : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $5$. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite $(u_n)$ converge et sa limite est égale à $5$.
Étape 4 : On en conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$.
Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.
Un élève propose la rédaction suivante pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$ :
Étape 1 : On montre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 4$.
• Initialisation : $u_0 = 0$, donc $0 \le u_0 \le 4$ est vrai.
• Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $0 \le u_n \le 4$, alors $2 \le u_n + 2 \le 6$. Par croissance de la fonction racine carrée, $\sqrt{2} \le \sqrt{u_n + 2} \le \sqrt{6}$, soit $\sqrt{2} \le u_{n+1} \le \sqrt{6}$. Comme $0 \le \sqrt{2}$ et $\sqrt{6} \le 4$, on a bien $0 \le u_{n+1} \le 4$.
La propriété est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étape 2 : On montre par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante, c'est-à-dire que $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
• Initialisation : $u_0 = 0$ et $u_1 = \sqrt{2}$, donc $u_1 \ge u_0$ est vrai.
• Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $u_{n+1} \ge u_n$, alors $u_{n+1} + 2 \ge u_n + 2$. Par croissance de la fonction racine carrée, $\sqrt{u_{n+1} + 2} \ge \sqrt{u_n + 2}$, soit $u_{n+2} \ge u_{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est donc croissante.
Étape 3 : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 4. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite $(u_n)$ converge et sa limite $L$ est égale à ce majorant, soit $L = 4$.
Étape 4 : On en conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 4$.
Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).
Soit $k$ un nombre réel strictement positif.
On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout entier naturel $n \ge 1$ par :
$$u_n = \frac{k n^2 + 5 \sin(n^2)}{2n^2 - n + 1}$$On sait que la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ converge vers $3{,}5$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0; +\infty[$ par :
$$f(x) = \frac{4x + 6}{x + 3}$$On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$.
Déterminer la limite $L$ de la suite $(u_n)$.
Saisir la valeur de la limite $L$ de la suite $(u_n)$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
$$u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4}$$Un élève propose la démonstration suivante pour étudier l'existence d'une limite finie pour la suite $(u_n)$ :
Étape 1 : Pour $n = 0$, on a $u_0 = 0$ et $u_1 = \frac{2 \times 0 + 3}{0 + 4} = \frac{3}{4}$. On constate que $0 \le u_0 < u_1 \le 1$. La propriété $P(n) : 0 \le u_n < u_{n+1} \le 1$ est donc vraie au rang $n = 0$.
Étape 2 : Soit $k \in \mathbb{N}$. On suppose $P(k)$ vraie, c'est-à-dire $0 \le u_k < u_{k+1} \le 1$. Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,; 1]$ par $f(x) = \frac{2x+3}{x+4}$. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{5}{(x+4)^2} > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,; 1]$. En appliquant $f$ aux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence, on obtient $f(0) \le f(u_k) < f(u_{k+1}) \le f(1)$. Comme $f(0) = \frac{3}{4} \ge 0$ et $f(1) = 1$, il vient $0 \le u_{k+1} < u_{k+2} \le 1$, ce qui prouve $P(k+1)$.
Étape 3 : La propriété $P(n)$ est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par $1$.
Étape 4 : La suite $(u_n)$ étant croissante et majorée, elle converge vers une limite finie.
Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).
Soit $k$ un entier naturel. On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = \frac{u_n^2 + k}{10}$$On cherche à déterminer la plus grande valeur de l'entier $k$ pour laquelle la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente.
Saisir la valeur de cet entier $k$.
Soit $A$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on définit la suite $(u_n)$ par :
$$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{k + (-1)^k}{A n^2 + k}$$On sait que la suite $(u_n)$ converge et que sa limite vaut $\frac{1}{10}$.
Saisir la valeur exacte du paramètre $A$.