Exercice : Limites et convergence des suites

Étape 1

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on factorise par $n^2$ au numérateur et au dénominateur :

Étape 2

$$u_n = \frac{n^2 \left(a - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(2 + \frac{5}{n^2}\right)} = \frac{a - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}$$

Étape 3

Or, on a $\lim_{n \to +\infty} \frac{3}{n} = 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{5}{n^2} = 0$.

Étape 4

Par somme et quotient de limites, on en déduit que :

Étape 5

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{a}{2}$$

Étape 6

Comme la suite $(u_n)$ converge vers $4$, on a l'égalité $\frac{a}{2} = 4$, d'où $a = 8$.