Étape 1
Démontrons dans un premier temps que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$. Pour cela, montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $1 \le u_n \le u_{n+1} \le 3$.
Étape 2
Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $u_1 = f(1) = \frac{4(1) + 6}{1 + 3} = \frac{10}{4} = 2{,}5$. On a bien $1 \le u_0 \le u_1 \le 3$. La propriété est donc initialisée au rang $0$.
Étape 3
Soit $n \ge 0$ un entier naturel. Supposons que $1 \le u_n \le u_{n+1} \le 3$. La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,; +\infty[$ et sa dérivée est $$f'(x) = \frac{4(x + 3) - (4x + 6)}{(x + 3)^2} = \frac{6}{(x + 3)^2}$$ Comme $f'(x) > 0$ sur $[0\,; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. En appliquant $f$ à l'encadrement, on obtient $f(1) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(3)$, soit $2{,}5 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 3$. Comme $1 \le 2{,}5$, on a bien $1 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 3$. La propriété est héréditaire.
Étape 4
Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1 \le u_n \le u_{n+1} \le 3$. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge donc vers une limite réelle $L$ appartenant à l'intervalle $[1\,; 3]$.
Étape 5
La fonction $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur $[0\,; +\infty[$, elle est donc continue sur cet intervalle. Puisque la suite $(u_n)$ converge vers $L$ et que $u_{n+1} = f(u_n)$, la limite $L$ vérifie la relation $f(L) = L$.
Étape 6
Résolvons l'équation $f(L) = L$ : $$\frac{4L + 6}{L + 3} = L$$ Comme $L + 3 \neq 0$, ceci équivaut à $$4L + 6 = L(L + 3)$$ $$L^2 - L - 6 = 0$$
Étape 7
Le discriminant de ce trinôme du second degré est $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25$$ Les deux solutions réelles sont $$L_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \quad \text{et} \quad L_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$
Étape 8
Comme la limite $L$ doit appartenir à l'intervalle $[1\,; 3]$, la valeur $-2$ est exclue. On en conclut que $L = 3$.
Méthode clé
Lorsqu'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $L$ et que $f$ est une fonction continue sur l'intervalle d'étude, la limite $L$ est solution de l'équation $f(L) = L$.
Piège à éviter
Résoudre $f(L) = L$ sans avoir au préalable démontré que la suite $(u_n)$ converge, ou oublier d'éliminer la solution qui n'appartient pas à l'intervalle des valeurs de la suite.
