Exercice : Limites et convergence des suites

Un élève propose la démonstration suivante pour étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = 2 - \frac{1}{n}$.

Étape 1 : Pour tout entier $n \ge 1$, $u_{n+1} - u_n = \left(2 - \frac{1}{n+1}\right) - \left(2 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$. Comme $n \ge 1$, $\frac{1}{n(n+1)} > 0$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Étape 2 : Pour tout entier $n \ge 1$, $n \ge 1 \implies -\frac{1}{n} < 0 \implies 2 - \frac{1}{n} < 2 < 5$. La suite $(u_n)$ est donc majorée par $5$.

Étape 3 : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $5$. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite $(u_n)$ converge et sa limite est égale à $5$.

Étape 4 : On en conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$.

Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).