Exercice : Limites et convergence des suites

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, par :

Un élève propose la démonstration suivante pour étudier l'existence d'une limite finie pour la suite $(u_n)$ :

Étape 1 : Pour $n = 0$, on a $u_0 = 0$ et $u_1 = \frac{2 \times 0 + 3}{0 + 4} = \frac{3}{4}$. On constate que $0 \le u_0 < u_1 \le 1$. La propriété $P(n) : 0 \le u_n < u_{n+1} \le 1$ est donc vraie au rang $n = 0$.

Étape 2 : Soit $k \in \mathbb{N}$. On suppose $P(k)$ vraie, c'est-à-dire $0 \le u_k < u_{k+1} \le 1$. Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,; 1]$ par $f(x) = \frac{2x+3}{x+4}$. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{5}{(x+4)^2} > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,; 1]$. En appliquant $f$ aux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence, on obtient $f(0) \le f(u_k) < f(u_{k+1}) \le f(1)$. Comme $f(0) = \frac{3}{4} \ge 0$ et $f(1) = 1$, il vient $0 \le u_{k+1} < u_{k+2} \le 1$, ce qui prouve $P(k+1)$.

Étape 3 : La propriété $P(n)$ est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par $1$.

Étape 4 : La suite $(u_n)$ étant croissante et majorée, elle converge vers une limite finie.

Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).