Étape 1
Pour déterminer la valeur du paramètre $A$, encadrons le terme général de la somme définissant $u_n$ pour tout entier $n \ge 1$ et tout $k \in \{1, \dots, n\}$.
Étape 2
Pour le numérateur, on a pour tout entier $k \ge 1$ : $$-1 \le (-1)^k \le 1$$ Ce qui donne en ajoutant $k$ : $$k - 1 \le k + (-1)^k \le k + 1$$
Étape 3
Pour le dénominateur, comme $A > 0$ et $1 \le k \le n$, on a : $$A n^2 + 1 \le A n^2 + k \le A n^2 + n$$ Les termes étant strictement positifs, le passage à l'inverse inverse l'ordre des inégalités : $$\frac{1}{A n^2 + n} \le \frac{1}{A n^2 + k} \le \frac{1}{A n^2 + 1}$$
Étape 4
Comme $k - 1 \ge 0$ pour tout $k \ge 1$, on peut multiplier membre à membre ces inégalités positives : $$\frac{k - 1}{A n^2 + n} \le \frac{k + (-1)^k}{A n^2 + k} \le \frac{k + 1}{A n^2 + 1}$$
Étape 5
En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$, on obtient : $$v_n \le u_n \le w_n$$ avec : $$v_n = \frac{1}{A n^2 + n} \sum_{k=1}^n (k - 1) \quad \text{et} \quad w_n = \frac{1}{A n^2 + 1} \sum_{k=1}^n (k + 1)$$
Étape 6
Explicitons les deux sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique : $$\sum_{k=1}^n (k - 1) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2} = \frac{n^2 - n}{2}$$ $$\sum_{k=1}^n (k + 1) = 2 + 3 + \dots + (n + 1) = \frac{n(2 + n + 1)}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2}$$
Étape 7
On en déduit les expressions de $v_n$ et $w_n$ : $$v_n = \frac{n^2 - n}{2(A n^2 + n)} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{2A + \frac{2}{n}}$$ $$w_n = \frac{n^2 + 3n}{2(A n^2 + 1)} = \frac{1 + \frac{3}{n}}{2A + \frac{2}{n^2}}$$
Étape 8
Étudions les limites de ces deux suites quand $n$ tend vers $+\infty$ : $$\lim_{n \to +\infty} v_n = \frac{1}{2A} \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} w_n = \frac{1}{2A}$$
Étape 9
D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et sa limite est : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2A}$$
Étape 10
Or, l'énoncé indique que cette limite vaut $\frac{1}{10}$. On résout donc l'équation : $$\frac{1}{2A} = \frac{1}{10}$$ Ce qui équivaut à $2A = 10$, d'où $A = 5$.
Méthode clé
Encadrer le terme général d'une somme pour construire deux suites encadrantes dont la limite commune donne la limite de la suite étudiée.
Piège à éviter
Confondre l'indice de sommation $k$ et la variable $n$ lors de la majoration du dénominateur.
