Étape 1
Pour tout entier naturel $n \ge 1$, la fonction sinus est bornée sur $\mathbb{R}$, ce qui donne : $$-1 \le \sin(n^2) \le 1$$
Étape 2
En multipliant par $5$ puis en ajoutant $k n^2$, on obtient : $$k n^2 - 5 \le k n^2 + 5 \sin(n^2) \le k n^2 + 5$$
Étape 3
Pour tout $n \ge 1$, le dénominateur $2n^2 - n + 1$ est strictement positif. En divisant chaque membre par ce dénominateur, il vient : $$\frac{k n^2 - 5}{2n^2 - n + 1} \le u_n \le \frac{k n^2 + 5}{2n^2 - n + 1}$$
Étape 4
Déterminons la limite du membre de gauche en factorisant par le terme prépondérant $n^2$ au numérateur et au dénominateur : $$\frac{k n^2 - 5}{2n^2 - n + 1} = \frac{n^2 \left(k - \dfrac{5}{n^2}\right)}{n^2 \left(2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)} = \frac{k - \dfrac{5}{n^2}}{2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}$$ Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$, on en déduit que : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{k n^2 - 5}{2n^2 - n + 1} = \frac{k}{2}$$
Étape 5
Par un calcul identique, la limite du membre de droite vaut également : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{k n^2 + 5}{2n^2 - n + 1} = \frac{k}{2}$$
Étape 6
D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et sa limite est : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{k}{2}$$
Étape 7
L'énoncé indique que la suite converge vers $3{,}5$. On résout donc l'équation : $$\frac{k}{2} = 3{,}5$$ Ce qui donne $k = 7$.
Méthode clé
Pour une suite contenant une partie oscillante comme $\sin(x)$ ou $\cos(x)$, on encadre d'abord cette partie entre $-1$ et $1$, puis on reconstruit l'expression de la suite afin d'appliquer le théorème des gendarmes.
Piège à éviter
Chercher à déterminer directement la limite de $\sin(n^2)$ en $+\infty$, alors que cette fonction n'admet pas de limite à l'infini.
