Étape 1
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle notée $L$. De plus, comme $0 \le u_n \le 2$ pour tout entier naturel $n$, on en déduit par passage à la limite que $0 \le L \le 2$.
Étape 2
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{5}$. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f(u_n)$. La fonction $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$. Puisque la suite $(u_n)$ converge vers $L$ et que $f$ est continue en $L$, la limite $L$ vérifie l'équation $f(L) = L$.
Étape 3
Résolvons l'équation $f(L) = L$ : $$\dfrac{L^2 + 6}{5} = L$$ Ce qui équivaut successivement à : $$L^2 + 6 = 5L$$ $$L^2 - 5L + 6 = 0$$ Le discriminant du polynôme est $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$. L'équation admet donc deux solutions distinctes : $$L_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$$ et $$L_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$$
Étape 4
Or, nous avons établi que $0 \le L \le 2$. La valeur $L = 3$ est donc exclue. On conclut que la limite de la suite $(u_n)$ est égale à $2$.
Méthode clé
Si une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $L$ et que la fonction $f$ est continue, alors la limite $L$ est solution de l'équation du point fixe $f(L) = L$.
Piège à éviter
Oublier d'utiliser le majorant de la suite pour choisir la bonne solution lorsque l'équation $f(L) = L$ possède plusieurs racines.
