Exercice : Limites et convergence des suites

Étape 1

On étudie la raison de la suite géométrique $\left(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\right)$.

Étape 2

La raison est $q = \dfrac{3}{4}$. Comme $-1 < \dfrac{3}{4} < 1$, d'après le théorème sur les suites géométriques, on a :$$\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 0$$

Étape 3

Par produit par $-5$, on obtient :$$\lim_{n \to +\infty} -5 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 0$$

Étape 4

Enfin, par somme avec $12$, la limite de la suite $(u_n)$ est :$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 12$$