Étape 1
On pose, pour tout réel $x$, $f(x) = \frac{x^2 + k}{10}$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynomiale.
Étape 2
Étape 1 : Condition nécessaire de convergence
Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $L$. Par continuité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$, la limite $L$ doit vérifier l'égalité $f(L) = L$.
Cette équation s'écrit :$$\frac{L^2 + k}{10} = L$$ce qui équivaut à :$$L^2 - 10L + k = 0$$Le discriminant de ce polynôme du second degré en $L$ est :$$\Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times k = 100 - 4k$$Pour que l'équation $f(L) = L$ possède au moins une solution réelle, il est nécessaire que $\Delta \ge 0$.
On a $\Delta \ge 0$ si et seulement si $100 - 4k \ge 0$, soit $k \le 25$.
Ainsi, pour tout entier $k > 25$, la suite $(u_n)$ ne peut pas converger.
Étape 3
Étape 2 : Étude de la convergence pour $k = 25$
Pour $k = 25$, l'équation $L^2 - 10L + 25 = 0$ s'écrit $(L - 5)^2 = 0$, qui admet pour unique solution $L = 5$.
La fonction $f$ est définie par $f(x) = \frac{x^2 + 25}{10}$. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{x}{5}$. Sur l'intervalle $[0\,; 5]$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,; 5]$.
Étape 4
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 5$ :
- Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 0$ et $u_1 = \frac{0^2 + 25}{10} = 2{,}5$. On a bien $0 \le u_0 \le u_1 \le 5$. La propriété est vraie au rang $0$.
- Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 5$.
Comme la fonction $f$ est croissante sur $[0\,; 5]$, elle conserve l'ordre :$$f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(5)$$Or $f(0) = 2{,}5 \ge 0$ et $f(5) = \frac{25 + 25}{10} = 5$. D'où :$$0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 5$$La propriété est donc héréditaire. - Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 5$.
Étape 5
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $5$. D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $L \in [0\,; 5]$.
Comme $f$ est continue sur $[0\,; 5]$, la limite $L$ vérifie $f(L) = L$. L'unique solution de cette équation étant $5$, la suite $(u_n)$ converge vers $5$.
Étape 6
Conclusion
La plus grande valeur entière de $k$ pour laquelle la suite $(u_n)$ converge est $25$.
Méthode clé
Si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite réelle $L$ et que $f$ est continue, alors $f(L) = L$. L'existence de solutions à cette équation donne une condition nécessaire sur les paramètres.
Piège à éviter
Se contenter de trouver la condition sur le discriminant sans vérifier que la suite converge effectvement pour cette valeur limite du paramètre.
