Exercice : Limites et convergence des suites

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

Un élève propose la rédaction suivante pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$ :

Étape 1 : On montre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 4$.
• Initialisation : $u_0 = 0$, donc $0 \le u_0 \le 4$ est vrai.
• Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $0 \le u_n \le 4$, alors $2 \le u_n + 2 \le 6$. Par croissance de la fonction racine carrée, $\sqrt{2} \le \sqrt{u_n + 2} \le \sqrt{6}$, soit $\sqrt{2} \le u_{n+1} \le \sqrt{6}$. Comme $0 \le \sqrt{2}$ et $\sqrt{6} \le 4$, on a bien $0 \le u_{n+1} \le 4$.
La propriété est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Étape 2 : On montre par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante, c'est-à-dire que $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
• Initialisation : $u_0 = 0$ et $u_1 = \sqrt{2}$, donc $u_1 \ge u_0$ est vrai.
• Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Si $u_{n+1} \ge u_n$, alors $u_{n+1} + 2 \ge u_n + 2$. Par croissance de la fonction racine carrée, $\sqrt{u_{n+1} + 2} \ge \sqrt{u_n + 2}$, soit $u_{n+2} \ge u_{n+1}$.
La suite $(u_n)$ est donc croissante.

Étape 3 : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 4. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite $(u_n)$ converge et sa limite $L$ est égale à ce majorant, soit $L = 4$.

Étape 4 : On en conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 4$.

Saisir le numéro de la première étape contenant une erreur (ou 0 si le raisonnement est entièrement exact).