Étape 1
Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, la fonction sinus est bornée par $-1$ et $1$ : $$-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$$
Étape 2
En multipliant par $-1$, l'encadrement devient : $$-1 \leqslant -\sin(n) \leqslant 1$$ En ajoutant $3n$ à chaque membre, on obtient : $$3n - 1 \leqslant 3n - \sin(n) \leqslant 3n + 1$$
Étape 3
Comme $n > 0$, on divise chaque membre par $n$ sans changer le sens des inégalités : $$\frac{3n - 1}{n} \leqslant u_n \leqslant \frac{3n + 1}{n}$$
Étape 4
Déterminons la limite des deux suites encadrantes : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n - 1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \left(3 - \frac{1}{n}\right) = 3$$ $$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \left(3 + \frac{1}{n}\right) = 3$$
Étape 5
Les deux suites encadrantes convergent vers la même limite $3$. D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$$
Méthode clé
Pour déterminer la limite d'une suite à l'aide du théorème des gendarmes, on encadre son terme général par deux suites ayant la même limite finie $L$ en $+\infty$.
Piège à éviter
Ne pas chercher la limite de $\sin(n)$ en $+\infty$ car cette fonction n'admet pas de limite à l'infini. Il faut obligatoirement procéder par encadrement.
