Optimisation et approximation numérique

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

Pour déterminer l'abscisse du minimum de la fonction $f$ sur cet intervalle avec un pas de $1$, on utilise le script Python suivant :

x = 0
pas = 1
x_min = 0
f_min = 5

while x <= 4:
    f = x**2 - 4*x + 5
    if f < f_min:
        f_min = f
        x_min = x
    x = x + pas

En exécutant cet algorithme pas à pas, déterminer la valeur contenue dans la variable x_min à la fin de l'exécution.

Saisir la valeur contenue dans la variable x_min à la fin de l'exécution.

Une entreprise fabrique entre $15$ et $35$ objets par jour. Le bénéfice quotidien, exprimé en euros, pour la fabrication et la vente de $x$ objets est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[15 ; 35]$ par :

Déterminer le nombre d'objets $x$ que l'entreprise doit fabriquer et vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.

Saisir la valeur de $x$.

On considère le script Python ci-dessous :

x = 1.0
y_max = -100.0
while x <= 5.0:
    y = -2 * x**2 + 12 * x - 10
    if y > y_max:
        y_max = y
    x = x + 0.5

Déterminer la valeur contenue dans la variable y_max à la fin de l'exécution de ce script.

Saisir la valeur de y_max.

Un artisan fabrique des boîtes ouvertes en découpant quatre carrés identiques de côté $x$ (en cm) aux quatre coins d'une plaque carrée de métal de $12\text{ cm}$ de côté, puis en relevant les bords.

On s'intéresse à l'ensemble des valeurs réelles de $x$ pour lesquelles la fabrication d'une telle boîte est physiquement possible. On note $a$ la borne inférieure et $b$ la borne supérieure de cet intervalle de valeurs admissibles.

Pour encadrer la valeur de $x$ optimisant le volume de la boîte, on utilise le programme Python ci-dessous qui divise par deux la longueur de l'intervalle d'étude à chaque étape :

def nb_iterations(a, b, e):     longueur = b - a     count = 0     while longueur > e:         longueur = longueur / 2         count = count + 1     return count

Déterminer la valeur renvoyée par l'appel nb_iterations(a, b, 0.005).

Saisir la valeur entière renvoyée par le programme.

Un paysagiste souhaite aménager un enclos rectangulaire adossé à un mur rectiligne existant. Il divise cet enclos en deux parcelles rectangulaires identiques à l'aide d'une séparation perpendiculaire au mur. Il utilise au total une longueur de grillage égale à $k$ mètres.

On admet que pour tout réel $x$ et tout réel $k$, on a l'égalité : $$kx - 3x^2 = \frac{k^2}{12} - 3\left(x - \frac{k}{6}\right)^2$$

Sachant que l'aire maximale que l'on peut ainsi délimiter est égale à $300\text{ m}^2$, déterminer la valeur de $k$.

Saisir la valeur de $k$.